Este tema es lo que llaman algunos un prescriptivist bugbear, o sea, una pesadilla prescriptivista. Un prescriptivista según el diccionario de Cambridge es aquel que “cree que hay formas correctas e incorrectas de usar el lenguaje y que los libros sobre el lenguaje deben dar reglas a seguir, en lugar de describir cómo se usa realmente el lenguaje” 

Entonces, aun cuando hoy en día palabras como well y good se usan muchas veces como sinónimos, vale la pena dar un repaso a la regla que exige diferenciarlos, ya que la misma se cumple con varios verbos importantes. 

Para los linking verbs (en español, verbos copulativos) tales como to be (ser o estar), to feel (sentir/sentirse), to grow (crecer), to look (parecer, lucir) y algunos otros, dice la regla que no debemos utilizar adverbios (como well) para modificarlos. En cambio, debemos utilizar adjetivos (como good) que siempre describen lo que sucede a las personas, y vale repetir, las personas son sustantivos los cuales funcionan con adjetivos. 

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En el caso del verbo to be, éste indica un estado del ser, en pocas palabras, no es un verbo de acción. Entonces, se debería decir  I am good (estoy bien) y no I am well, o  I feel happy (me siento feliz) y no I feel well.

How are you doing? -I'm good, how are you?

¿Cómo está? -Estoy bien, ¿y usted?

Subtítulo  83, The Late Late Show with James Corden Audience Attempts To Answer Simple Trivia For Cash - Part 1

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Responder al saludo general: How are you doing? con I'm well es gramaticalmente incorrecto (se quiso decir I'm doing well) o se está respondiendo a una pregunta diferente: how are you doing? I'm concerned about your health (¿Cómo te va? Me preocupa tu salud). 

Love you all and um... hope you're doing well.

Los amo a todos y eh... espero que estén bien

Subtítulo 79, An apartment in Japan

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También existe una situación especial, concretamente al hablar de la salud, en la que well y good tienen matices diferentes, pero ambos pueden utilizarse como adjetivos. I am well  (estoy sano) o I am good (puede significar sano, y también "no malo", hábil en algo, etc.)

Al final, es un ejemplo de cómo un uso gramatical impropio ha encontrado amplia difusión entre los hablantes nativos. Los idiomas son dinámicos y van cambiando con el tiempo, pero siempre vale la pena conocer la regla.

Aprendizaje adicional 

Entender la diferencia entre los adverbios y los adjetivos cuando se utilizan con verbos copulativos es útil para las personas que aprenden inglés porque ayuda a expresarse con mayor precisión. Haz una lista de adverbios y adjetivos en inglés y combinalos con verbos copulativos.